Liczby
magiczne część I / II
Liczby
magiczne część II
[wróć]
Asembler
Natury
PI
Fibonacci
i złoty podział
Niewiele
spraw wydaje się równie tajemniczych i trudnych do wyobrażenia, jak głębia
mikro czy makro kosmosu. Mówiąc że wszechświat jest nieskończony, właściwie
co mamy na myśli? Gdyby się zastanowić nad takim stwierdzenie można dojść
do wniosku, że nie przekazuje ono żadnej informacji, oprócz deklaracji naszej
niewiedzy. A jednak są ludzie, konkretnie matematycy, którzy zawodowo zajmują
się rzeczami nieskończonymi, niewymiernymi, wielo wymiarowymi czy też
nieprzeliczalnymi. Czas, który poświęcają temu zajęciu, może się wydawać
niektórym mało produktywny, ale prawda jest taka, że to właśnie matematyka
jest matką wszystkich nauk i jednocześnie językiem, którym posługuje się
sama Natura. Gdyby nie rozwinęła się zaawansowana matematyka, tzn. od poziomu
rachunku różniczkowego w górę, to praktycznie żadna ze zdobyczy
technologicznych naszej cywilizacji nie mogłaby istnieć. Fakt, że w praktyce
matematyka jest podstawowa względem innych gałęzi nauki, doprowadza do
konkluzji – to dzięki zgłębianiu tajemnic liczby i operacji
matematycznych powinniśmy móc ostatecznie rozszyfrować zjawiska naturalne.
Prawdopodobnie
z takiego założenia wychodzili starożytni matematycy – Pitagoras,
Tales, Archimedes – ci, których kojarzymy obecnie z fundamentalnymi
twierdzeniami matematycznymi. Z biegiem czasu matematyka uległa zróżnicowaniu.
Powstały dziwne i niezrozumiałe dla nie wtajemniczonych systemy, składające
się z nowych twierdzeń i aksjomatów, np. geometria nieeuklidesowa w której
suma kątów trójkąta nie wynosi dokładnie 180 stopni, topologia węzłów.
Wciąż jednak aktywna była grupa badaczy zwracających się ku źródłu,
czyli poszczególnym liczbom i ich wzajemnym zależnościom, w których
dopatrywali się oni istoty wszystkich zjawisk. Właśnie liczbom naturalnym,
liczbom Fibonacciego, złotej proporcji, pi itp. poświęcony jest ten esej. W
drugiej części, czyli za miesiąc, zajmę się matematycznymi teoriami
wykorzystywanymi przez graczy giełdowych (teoria Ganna i teoria Elliotta). Jeśli
zanudzę Czytelnika, to będzie to wyłącznie moja wina, gdyż matematyka nudna
nie jest.
„Pi”
to szesnasta litera greckiego alfabetu, liczba niewymierna 3,141592... Liczbę
pi poznajemy jako pierwszą w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego średnicy.
„Pi” to również tytuł i inspiracja niekomercyjnego filmu Darrena
Aronofskiego. Bohater filmu Max Cohen jest stereotypowym naukowcem. Zamknięty w
sobie, poświęcający każdą wolną chwilę matematyce, zaniedbujący doczesną
egzystencję, prowadzi niekończącą się walkę z migrenowymi halucynacjami
oraz ... liczbami. Jego obsesją jest odnalezienie reguły w chaosie dziesiętnego
rozwinięcia liczby pi. Max przekonany jest, że światem rządzą reguły
matematyki, objawiające się w wahaniach kursów walut, strukturze płatków śniegu,
kształcie galaktyk. Słowem wierzy on, że matematyka jest prawdziwym językiem
Natury, a wszystko to co postrzegamy jako przypadkowe i chaotyczne, można w
rzeczywistości zrozumieć i przewidzieć. Max, jak każdy współczesny
naukowiec posiada komputer (Euclid), przy pomocy którego analizuje sekwencję
cyfr w liczbie pi. Z dnia na dzień przeczuwa, że jest coraz bliżej poznania
odpowiedzi, a im bliżej jest celu, tym poważniejsze i bardziej groteskowe stają
się jego ataki migrenowe. Pewnego dnia komputer analizując dane giełdowe,
niespodziewanie drukuje 216 cyfrową liczbę, po czym zawiesza się a jego
procesor ulega przepaleniu. Ma to stanowić ostrzeżenie dla Maxa. Taka jest właśnie
kara, a może nagroda, za poznanie tajemnicy.
Max
spotyka na swojej drodze ludzi, chcących wydobyć od niego rozwiązanie
zagadki. Między innymi napotyka, niby przypadkiem w barze na Lennego – Żyda
studiującego Kabałę. Aby zrozumieć sytuację mającą dalej miejsce
konieczne jest krótkie wprowadzenie. Otóż na Kabałę składają się żydowskie
pisma traktujące o kosmosie, Bogu i miejscu człowieka na Ziemi.
Charakterystyczne dla Kabały jest przypisywanie konkretnym literom alfabetu
hebrajskiego cyfr. Dzięki temu każdy wyraz posiada swój odpowiednik liczbowy
identyfikujący jego powiązania z innymi słowami i określeniami. Złożony i
hermetyczny system rozumienia określany jest jako Gematria. Na przykład słowo
„ojciec” odpowiada liczbie 3, „matka” to 41. Jeśli
zsumujemy obie liczby, wówczas otrzymamy 44. Jak sądzisz, czemu odpowiada ta
liczba? Takich związków jest w Kabale więcej. Lenny pokazuje Maxowi znaczenie
dwóch innych określeń; „ogród w Edenie” posiada wartość 144,
zaś „drzewo poznania” to 233. Cóż z tego wynika? Otóż liczby
144 i 233 są ze sobą blisko związane i bardzo charakterystyczne. Są to
kolejne liczby ciągu Fibonacciego, o którym w dalszej kolejności powiem więcej.
Max
dowiaduje się od Lennego o mistycznym imieniu Boga, które raczej nie
przypadkowo ma tą samą długość co liczba wydrukowana wcześniej przez
komputer. W Kabale zawarty jest model „Drzewa Życia” –
systemu dziesięciu Sefirot, będących emanacjami Boga a jednocześnie cnotami
możliwymi do osiągnięcia tu, na Ziemi. Uważa się, że Sefiroty oraz ich
wzajemne związki są kluczem do psychiki człowieka. Człowiek, który opanuje
dziesięć Sefirot, wespnie się na górę drzewa życia i tym sposobem osiągnie
oświecenie. Na każdym z trzech poziomów drzewa życia znajduje się cześć
rozgałęzień. Tak więc mamy 6*6*6=216 (666 to również Liczba Bestii) odgałęzień,
które razem stanowią snop mocy boskiej. Lenny, podobnie jak kilka innych
postaci, próbuje zdobyć 216 cyfrową liczbę od Maxa. Jedyną osobą, która
nie jest zainteresowana poznaniem prawdy jest Sol, dawny nauczyciel Maxa. Sol mówi
Maxowi o swoich własnych próbach rozszyfrowania zagadki pi, które niestety
zakończyły się fiaskiem. Sol zarzucił poszukiwania, gdy odkrył w pi
samoreplikującego się, niebezpiecznego wirusa (umysłu). Oto jak tłumaczy on
awarię komputera „Określone problemy powodują, że komputer zawiesza się
w zamkniętej pętli. To właśnie ta pętla prowadzi do stopienia się
procesora. Chwilę przed awarią, staje się on świadomy swojego
istnienia.” Prawda jest pustką, a pustka prowadzi do destrukcji. Następnego
dnia okazuje się, że Sol nie żyje. Przypuszczać można, że podzielił on
los komputera należącego do Maxa, chcąc dokończyć pracę. Ten jednak nie
zraża się i dalej prowadzi poszukiwania prawdy. Na koniec, nie wiadomo czy w
fantasmagorii czy też w rzeczywistości wierci sobie dziurę w głowie. W
ostatniej scenie widzimy Maxa rozmawiającego w dzieckiem w parku. Ponieważ
jest on znany z umiejętności błyskawicznego liczenia w pamięci, dziecko
prosi go o podanie wyniku skomplikowanej operacji. Max nie potrafi przeprowadzić
obliczeń.
Film
„Pi” jest oczywiście fikcją, ale jak mówi sam reżyser przeplataną
elementami prawdy (np. wykład Lennego o Kabale). Z całą pewnością prawdziwa
jest odwieczna fascynacja samą liczbą pi. Na przykład długość obwodu
piramidy podzielona przez podwójną jej wysokość daje 3,14159 – liczbę
pi z dokładnością do piątego miejsca po przecinku, co jest tym bardziej
dziwne, że Egipcjanie nie znali pojęcia koła. Czy więc pojawienie się pi w
piramidach nazwać trzeba przypadkiem. Powiedziałbym raczej, że współzależnością,
gdyż taki właśnie kształt, wynikający z określonego stosunku obwodu i
wysokości powoduje specyficzne właściwości piramidy, spośród których
najbardziej znane jest ostrzenie żyletek, czy też konserwacja żywności.
Obecnie prowadzone są naukowe badania nad właściwościami Piramid i
matematyczne nad liczbą pi. Ciekawostka jest wynik uzyskany przez profesora
Yasumasa Kanadę w 1997. Zamiast szukać powtarzających się ciągów w liczbie
pi, zsumował on częstość występowania poszczególnych cyfr wśród
pierwszych 50 miliardów pozycji rozwinięcia dziesiętnego. Okazało się najczęściej
występującą cyfrą jest 8, później 4 2 7 0 5 9 1 6 3, przy czym cyfr 3 jest
o 100000 mniej niż 8. Trwają również pracę nad uzyskaniem możliwie najdłuższego
rozwinięcia.
Oczywiście
możemy sobie zadać pytanie o zasadność uzyskanej w ten sposób wiedzy. Możliwe,
że proces badania tych związków prowadzi do obsesji i szaleństwa, o czym
wspomina Sol w filmie „Pi” a przestrzegają średniowieczni Kabaliści.
Naukowiec staje się coraz mniej obiektywny, selektywnie wyszukujący przejawy
„swojej” liczby w otoczeniu i ignorujący wszystkie inne, w efekcie
dochodząc do mylnego wniosku. Granica między złudzeniem a prawdą jest bardzo
cienka, tym bardziej, że zaawansowana matematyka jest trudna do empirycznego
zweryfikowania i sprawdzenia, czy wynik przystaje do rzeczywistości. Prawda
zawarta w liczbach pokroju pi nie jest złudzeniem, o czym przekona się
Czytelnik w następnym rozdziale.
Fibonacci
i złoty podział
Pora
dowiedzieć się, co znaczą liczby 144 i 233. W tym celu wyobraźmy sobie, że
hodujemy króliki. Zasady naszego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy
od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po
kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. W miesiąc po urodzeniu królik
może przystąpić do reprodukcji. Jak w takiej sytuacji, będzie wyglądał
rozwój naszej farmy, ile par królików będzie liczyła po jednym roku? Przy
końcu pierwszego miesiąca możemy się spodziewać krótkiego sparingu w
pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego miesiąca samica urodzi parę młodych,
tak więc na farmie będą już dwie pary. W trzecim miesiącu będziemy mieli
już trzy pary, gdyż pierwsza samica wyda na świat kolejne potomstwo, a
urodzone wcześniej przystąpi do kopulacji itd. W łatwy sposób można obliczyć,
że liczebności w kolejnych miesiącach
będą wynosić 1,1,2,3,5,8,13,21,34...Czy widzisz, w jaki sposób można
rozszyfrować ten ciąg? Kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych
np. 21 = 13 + 8. Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę
ciągu Fibonacciego. Jego twórca był w samej rzeczy najsłynniejszym
matematykiem epoki średniowiecza ale prawdopodobnie nie spodziewał się, że właśnie
to odkrycie przyniesie mu nieśmiertelność. Wzmiankę o ciągu odnalazł na
marginesie księgi „Liber Abaci” Fibonacciego inny matematyk. Później
okazało się, że ta banalna z pozoru zależność opisuje szereg zjawisk
naturalnych (opisuje kształty i procesy fizyczne), a ponadto ściśle wiąże
się z geometrią i sztuką (zjawiska oparte na nim sprawiają są atrakcyjne
dla ludzkich zmysłów). Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów
geometrycznych, ciąg Fibonacciego okazał się najbardziej istotny. Po kolei
jednak. Jak powiedziałem jego podstawową własnością jest to, że każda
liczba (począwszy od trzeciej) jest sumą dwóch liczb poprzedzających. To nie
wszystko. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą
wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota
proporcja, zapisywana przy pomocy 21 litery alfabetu greckiego „phi”
(im większe liczby dzielimy, tym iloraz jest bliższy złotej proporcji).
Odcinek podzielony na dwie części zgodnie z zachowaniem reguł złotej
proporcji to taki, w którym większa część pozostaje w takiej samej relacji
do mniejszej, jak całość do większej. Tylko jedna proporcja pozwala na taki
podział odcinka - jest to właśnie złota proporcja, czyli liczba phi. Aby
zrozumieć związek między królikami i odcinkami geometrycznymi wystarczy
wyobrazić sobie, że dowolny odcinek dzielimy na dwa przy użyciu złotej
proporcji, a następnie układamy odcinki na linii w kolejności od najkrótszego
do najdłuższego. Suma pierwszego i drugiego daje trzeci, pierwszy można
ponownie podzielić, trzeci z drugim daje czwarty itd. Można powiedzieć, że
ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb
naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1). Aby otrzymać dokładną
liczbę phi na drodze obliczeń matematycznych należy rozwiązać następujące
równanie kwadratowe phi*phi = phi + 1. Nie wnikając w szczegóły, po jego
rozwiązaniu otrzymujemy dwie wartości, czyli dwa punkty zerowe przecięcia
funkcji f(x) = phi*phi - phi - 1. Drugą oprócz phi=
(sqrt(5)+1)/2 jest 0,618033 czyli
(sqrt(5)-1)/2 (czyli również
1-phi), która to liczba stanowi proporcję mniejszego odcinka do większego.
Warto wiedzieć, że złota proporcja istniała daleko przed greckim
matematykiem Pitagorasem, którą ją spopularyzował. Najstarsza wzmianka o phi
jako o „świętej proporcji” sięga 1650 rok p.n.e kiedy to spisano
w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Po
tych nieco teoretycznych rozważaniach czas pokazać miejsce liczby phi i ciągu
Fibonacciego w przyrodzie.
Najbliższe
nam liczby Fibonacciego to 1,2 i 5, pięć palców u każdej ręki, dwie kończyny
górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos),
trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy, których nie muszę
wymieniać. W tym schemacie identycznych części ciała brakuje liczby 4, a
nawet jeśli uznamy cztery kończyny za należące do tej samej kategorii, to
znacznie więcej znajdziemy w naszym ciele liczb 5. Poza tym, u większości
ludzi wysokość do pępka stanowi 0,618 łącznej wysokości, co zauważył i
naszkicował Leonardo da Vinci. Jeśli zmierzymy długość poszczególnych kości
palców wówczas ich proporcje będą również oscylowały wokół liczby phi.
Najbardziej
efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są
zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw.
Spirali Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę należy
przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym podziałem w dwóch wymiarach
przestrzeni. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób,
że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy
staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy
wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt,
podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy
prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości
na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o
promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek
otrzymujemy gotową spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka,
od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości
kształtów muszli ślimaków czy ostryg. Wszystko dlatego, że im są one większe
tym szybciej rosną, podobnie jak powiększa się nasza hodowla królików.
Ciąg
Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne również w świecie
flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew
i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających
się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby
ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością na jakiej wyrosły wówczas okaże
się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a
ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również
jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy,
że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne
wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który
spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia
ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. Jest również uniwersalna
i niezależna od wielkości rośliny.
Odmiany
roślin różnią się współczynnikiem filotaksji, ale niezmiennie występuje
w nim liczba Fibonacciego. Kwiaty wielu roślin podlegają „regule”
Fibonacciego, np. lilie i irysy mają 3 płatki, niektóre astry 21 płatków.
Podobnie jak w to ma miejsce w przypadku gałęzi i liści, występują
odchylenia od tej zasady, aczkolwiek średnie są zawsze bardzo bliskie liczbom
Fibonacciego. Bardzo dobrym reprezentantem reguły Fibonacciego jest swojski słonecznik.
Wykazuje on spiralną filotaksję jak również jego pestki ułożone są wzdłuż
logarytmicznych krzywych biegnących grupami w różnych kierunkach. Liczba
krzywych w każdej grupie jest liczbą Fibonacciego, zaś liczba grup równie
należy do ciągu Fibonacciego. Nie wszystkie gatunki roślin działają zgodnie
z ciągiem Fibonacciego i zasadą spiralnej filotaksji. Niektóre na przykład
funkcjonują w oparciu o ciąg Lucasa, tworzony dokładnie tak jak Fibonacciego,
tyle tylko, że pierwszymi wyrazami ciągu są liczby 2 i 1 (następna 7,9,16).
Ze świata roślin sięgnąć można do Wszechświata: fale radiowe wysyłane
przez pulsary odpowiadają liczbom Fibonacciego, periodyczność występowania
plam na słońcu wynosi niemal dokładnie 5 razy pierwiastek z 5.
Skoro
złoty podział i liczby Fibonacciego występują tak często w przyrodzie,
spodziewać się można, że zagoszczą one również w sztuce, będącej
imitacją i czerpiącej kryteria piękna właśnie z natury. Jak wykazały
eksperymenty psychologiczne, badani spośród różnych prostokątów wybierają
najczęściej te, odpowiadające złotej proporcji (takich, dla których
proporcja boków wynosi 1,618). Złote proporcje wykorzystywano bardzo chętnie
od wieków, w celu uzyskania harmonii i piękna w architekturze. Jak pisałem
liczbę phi wykorzystano przy budowie Wielkiej Piramidy w Gizie. Proporcją posłużono
się również przy budowie Partenonu w Atenach. W tym ostatnim wyraźnie widać
współwystępujące kształty prostokątów, takich jak ten, który stworzyliśmy
przy kreśleniu Spirali Fibonacciego. Później, złotą proporcję stosowano
przy budowie katedr zwanych gotyckimi. Obecnie jest równie chętnie stosowana
przez architektów jak niegdyś. Spośród artystów stosujących phi wymienić
należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca oraz oczywiście
Leonarda da Vinci (warto przyjrzeć się obrazowi „Madonna z dzieciątkiem”).
Słynny Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania
swoich najlepszych wiolonczeli. W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie
American Scientist Mike Kay pisze o tym, że większość z sonat Mozarta
podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Na
pytanie, czy Mozart robił to intuicyjnie czy świadomie (gdyż był
zafascynowany matematyką) nie poznamy raczej odpowiedzi. Inni badacze
odnajdowali złote proporcje w Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich
wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.
Odnalazłszy
tyle przejawów ciągu Fibonacciego oraz liczby phi w przyrodzie i sztuce nie można
mieć wątpliwości, że faktycznie „coś w tym jest”. Pozostaje
otwarte pytanie, czy nie popadliśmy w przesadę próbując dostrzec
„phi” tam, gdzie go naprawdę nie ma lub jest, ale przypadkiem. W
jednej ze scen filmu „Pi” Sol przestrzega Maxa, aby ten nie naginał
faktów do przekonań. Można przecież liczyć wszystkie występujące
zdarzenia, by wśród nich przez przypadek odnaleźć te liczby i zależności
na których nam zależy. To, czy taka obserwacja jest wartościowa zależy od
liczby przypadków, które odrzuciliśmy jako nie potwierdzające reguły. Na
nieszczęście umysł człowieka nie funkcjonuje jak komputer, selekcjonuje już
w pierwszej fazie poznania, zauważając tylko te zdarzenia, na które osoba
jest wewnętrznie ukierunkowana. Tak więc ktoś, kto planuje zakup marki danego
samochodu zacznie zauważać więcej podobnych samochodów na ulicy niż wcześniej,
co utwierdzi go w przekonaniu, że zakup będzie korzystny, bo przecież większość
nie powinna się mylić. Nie chodzi tutaj o to, aby negować intuicję, przeświadczenie
o istotności danego faktu, ale aby krytycznie weryfikować, z równą siłą
akceptować fakty, jak i odrzucać. W jedną, czy w drugą stronę pójdziemy,
krytykanctwa lub nierealnego optymizmu nie odnajdziemy Prawdy.
Polecam:
Tony
Plummer „Psychologia rynków finansowych” Wig-Press
Serwis
na temat Liczb
Serwis
zawierający obszerną recenzję „PI”
[wróć]
Piotr
Lasoń, 3 luty 2001
Text
& Design
Copyrights by Piotr
Lasoń
[Home
Page]
|
